Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Positif

Masih ingat bentuk berikut :
3² = 3 x 3
2³ = 2 x 2 x 2
5⁶ = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5
Demikian seterusnya sehingga diperoleh bentuk umum sebagai berikut.

Dengan a bilangan bulat dan n bilangan bulat positif Dari pengertian di atas akan diperoleh sifat-sifat berikut.

Sifat 1
aⁿ x aⁿ = a^{m + n} 
2⁴ x 2³ = (2 x 2 x 2 x 2 )x(2 x 2 x 2 )
           = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
           = 27
           = 2⁴⁺³

Sifat 2
a^m : aⁿ = a^{m - n}, m > n
5⁵ : 5³ = (5 x 5 x 5 x 5 x 5) : (5 x 5 x 5)
           = 5 x 5
           = 52
           = 5^{5 - 3}

Sifat 3
(a^m)ⁿ = a^{m x n}
(3⁴)² = 3⁴ x 3⁴
       = (3 x 3 x 3 x 3) x (3 x 3 x 3 x 3)
       = (3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3)
       = 38
       = 3^{4 x 2}

Sifat 4
(a x b)^m = a^m x b^m
(4 x 2)³ = (4 x 2) x (4 x 2) x (4 x 2)
           = (4 x 4 x 4) x (2 x 2 x 2)
           = 4³ x 2³

Sifat 5
(a : b)^m = a^m : b^m
(6 : 3) ⁴ = (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3)
            = (6 x 6 x 6 x 6) : (3 x 3 x 3 x 3)
            = 6⁴ : 3⁴

Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Negatif

Dari pola bilangan itu dapat disimpulkan bahwa 2⁰ = 1 dan 2^-n = ¹/_2n , secara umum dapat ditulis :

Pecahan Berpangkat Bilangan Bulat
Kita telah mengetahui bahwa pecahan adalah bilangan dalam bentuk dengun a dan b bilangan bulat (b ≠ 0). Bagaimanakah jika pecahan dipangkatkan dengan bilangan bulat? Untuk menentukan hasil pecahan yang dipangkatkan dengan bilangan bulat, caranya sama dengan menentukan hasil bilangan bulat yang dipangkatkan dengan bilangan bulat.

Contoh:
Tentukan hasil berikut ini!

 (¹/₂)⁵
Jawab :

2

Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Pecahan

Bilangan Rasional dan Irasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk ^a/_b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0. Bilangan rasional merupakan gabungan dari bilangan bulat, nol, dan pecahan. Contoh bilangan rasional adalah -5, ^-1/₂, 0, 3, ³/₄, dan ⁵/_9.

Sebaliknya, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk ^a/_b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0.
Contoh bilangan irasional adalah . Bilangan-bilangan tersebut, jika dihitung dengan kalkulator merupakan desimal yang tak berhenti atau bukan desimal yang berulang. Misalnya 

√2 = 1,414213562 .... Selanjutnya, gabungan anrara bilangan rasional dan irasional disebut bilangan real.

Bentuk Akar

Berdasarkan pembahasan sebelumnya, contoh bilangan irasional adalah √2 dan √5 . Bentuk seperti itu disebut bentuk akar. Dapatkah kalian menyebutkan contoh yang lain?

Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang hasilnya bukan bilangan Rasional.

Bentuk akar dapat disederhanakan menjadi perkalian dua buah akar pangkat bilangan dengan salah satu akar memenuhi definisi
√a² = a jika a ≥ 0, dan –a jika a < 0

Contoh :
Sederhanakan bentuk akar berikut √75
Jawab :
√75 = √25x3 = √25 x √3 = 5√3

Mengubah Bentuk Akar Menjadi Bilangan Berpangkat Pecahan dan Sebaliknya

Bentuk √a dengan a bilangan bulat tidak negatif disebut bentuk akar kuadrat dengan syarat tidak ada bilangan yang hasil kuadratnya sama dengan a. oleh karena itu √2,√3, √5, √10, √15 dan √19 merupakan bentuk akar kuadrat. Untuk selanjutnya, bentuk akar ⁿ√a^m dapat ditulis a^m/n (dibaca: a pangkat m per n). Bentuk a^m/n disebut bentuk pangkat pecahan.

contoh :
 

jawab :

Operasi Aljabar pada Bentuk Akar

Penjumlahan dan Pengurangan

Penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan jika memiliki suku-suku yang sejenis.

kesimpulan :
jika a, c = Rasional dan b ≥ 0, maka berlaku 

a√b + c√b = (a + c)√b

a√b - c√b = (a - c)√b

Perkalian dan Pembagian

Contoh :
Tentukan hasil operasi berikut :

jawab :

Perpangkatan

Kalian tentu masih ingat bahwa (a^)" = a^'. Rumus tersebut juga berlaku pada operasi perpangkatan dari akar suatu bilangan.
Contoh:

Operasi Campuran

Dengan memanfaatkan sifat-sifat pada bilangan berpangkat, kalian akan lebih mudah menyelesaikan soal-soal operasi campuran pada bentuk akarnya. Sebelum melakukan operasi campuran, pahami urutan operasi hitung berikut.

§  Prioritas yang didahulukan pada operasi bilangan adalah bilangan-bilangan yang ada dalam tanda kurung.

§  Jika tidak ada tanda kurungnya maka

1.   pangkat dan akar sama kuat;

2.   kali dan bagi sama kuat;

3.   tambah dan kurang sama kuat, artinya mana yang lebih awal dikerjakan terlebih dahulu;

4.   kali dan bagi lebih kuat daripada tambah dan kurang, artinya kali dan bagi dikerjakan terlebih dahulu.

Contoh :

Merasionalkan Penyebut

Dalam perhitungan matematika, sering kita temukan pecahan dengan penyebut bentuk akar, misalnya 

Agar nilai pecahan tersebut lebih sederhana maka penyebutnya harus dirasionalkan terlebih dahulu. Artinya tidak ada bentuk akar pada penyebut suatu pecahan. Penyebut dari pecahan-pecahan yang akan dirasionalkan berturut-turut adalah 

Merasionalkan penyebut adalah mengubah pecahan dengan penyebut bilangan irasional menjadi pecahan dengan penyebut bilangan rasional.

Penyebut Berbentuk √b

Jika a dan b adalah bilangan rasional, serta √b adalah bentuk akar maka pecahan ^a/_√b dapat dirasionalkan penyebutnya dengan cara mengalikan pecahan tersebut dengan ^√b/_√b .
 

Contoh :
Sederhanakan pecahan berikut dengan merasionalkan penyebutnya!

jawab :

Penyebut Berbentuk (a+√b) atau (a+√b)

Jika pecahan-pecahan mempunyai penyebut berbentuk (a+√b) atau (a+√b) maka pecahan tersebut dapat dirasionalkan dengan cara mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan sekawannya. Sekawan dari (a+√b) adalah (a+√b) adalah dan sebaliknya.
Bukti

Contoh :

Rasionalkan penyebut pecahan berikut.

jawab :

 

A. Pola Bilangan Pola bilangan adalah aturan terbentuknya sebuah kelompok bilangan dengan suatu aturan yang telah diurutkan.

Macam-macam pola bilangan dengan pola-pola tertentu sbb:

1. Bilangan asli Barisan bilangan : 1,2,3,4,5,… pola bilangan: n, n bilangan asli

2. Bilangan Genap Barisan bilangan: 2, 4, 6, 8, 10, … Pola bilangan: 2n, n bilangan asli

3. Bilangan ganjil Barisan bilangan : 1,3,5,7,9,… pola bilangan: 2n – 1, n bilangan asli

4. Bilangan persegi Barisan bilangan: 1, 4, 9, 16, … Pola bilangan: n2, n bilangan asli

5. Bilangan segitiga Barisan bilangan : 1,3,6,10,… pola bilangan: n (n + 1) , n bilangan asli

6. Bilangan persegipanjang Barisan bilangan: 2, 6, 12, 20, … Pola bilangan: n (n+1), n bilangan asli

7. Bilangan Segitiga Pascal Barisan bilangan : 1,2,,4,8,16, … pola bilangan: 2 n – 1 , n bilangan asli B.

Barisan dan Deret Barisan bilangan adalah urutan suatu bilangan yang mempunyai aturan tertentu. 1. Barisan dan Deret Aritmetika

a. Barisan Aritmetika Barisan Aritmetika adalah suatu barisan bilangan dengan pola tertentu berupa penjumlahan yang mempunyai beda (selisih) yang sama/tetap. Suku-sukunya dinyatakan dengan: U1, U2, U3, ….Un a, a+ b, a+2b, a + 3b, …., a + (n-1) b Selisih(beda) dinyatakan dengan b: b = U2 – U1 = U3 – U2 = Un – Un – 1 Suku ke n barisan aritmetika (Un) dinyatakan dengan rumus: Un = a + (n-1) b Keterangan: Un = suku ke n dengan n = 1,2,3, … a = suku pertama →U1 = a b = selisih/beda

Contoh soal: Tentukan suku ke 15 barisan 2, 6, 10,14,…

Jawab: Un = a + (n-1) b n = 15 b = 6-2 = 10 – 6 = 4 U1 = a = 2 U15 = 2 + (15-1)4 = 2 + 14.4 = 2 + 56 = 58 b. Deret Aritmetika Deret Aritmetika merupakan jumlah suku-suku pada barisan aritmetika. Bentuk umum deret aritmetika: a + (a + b) + (a+2b) + (a+3b) + …+ (a+(n-1)b ) Jumlah suku sampai suku ke n pada barisan aritmetika dirumuskan dengan: Sn = (2a + (n-1) b ) atau Sn = ( a + Un ) contoh soal: Suatu deret aritmetika 5, 15, 25, 35, … Berapa jumlah 10 suku pertama dari deret aritmetika tersebut? Jawab: Sn = (2a + (n-1) b ) n = 10 U1 = a = 5 b = 15 – 5 = 25 – 15 = 10 S10 = ( 2. 5 + (10 -1) 10) = 5 ( 10 + 9.10) = 5 . 100 = 500 2. Barisan dan Deret Geometri a. Barisan Geometri Barisan Geometri adalah suatu barisan bilangan dengan pola tertentu berupa perkalian yang mempunyai rasio yang sama/tetap. Suku-sukunya dinyatakan dengan: U1, U2, U3, ….Un a, ar, ar2, ar3, …., arn – 1 Rasio dinyatakan dengan r : r = Un/Un-1 Suku ke n barisan Geometri (Un) dinyatakan dengan rumus: Un = a . r n – 1 Keterangan: Un = suku ke n dengan n = 1,2,3, … a = suku pertama→U1 = a r = rasio

Contoh soal: Suku ke 10 dari barisan 2, 4, 8, 16, 32, … adalah….

Jawab: Un = a . r n – 1 n = 10 a = 2 r = 2 U10 = 2 . 210 – 1 = 2 . 29 = 210 = 1.024 b. Deret Aritmetika Deret Geometri merupakan jumlah suku-suku pada barisan geometri. Bentuk umum deret geometri: a + ar + ar2 + ar3 + … + arn – 1 Jumlah suku sampai suku ke n pada barisan geometri dirumuskan dengan: Jika Rasio (r) > 1 →Sn = a(rn-1)/r-1 Jika Rasio 0 < (r) < 1 →Sn = a(1-rn)/1-r

PERBANDINGAN BERTINGKAT

·         Perbandingan Senilai

·         Perbandingan Berbalik Nilai

·         Perbandingan dalam bentuk persamaan

Semua rumus hanya berlaku apabila a, b, c, d, q, x, y, dan z ≠ 0